Materi 8 : Penggunaan Turunan

Berikut adalah penjelasan mengenai Penggunaan Turunan 

• Maksimum dan Minimum 

Seperti yang telah dijelaskan diatas, salah satu penggunaan turunan yang sering dipakai adalah mengenai Maksimum dan Minimum. Untuk memahami masalah maksimum dan minimum, berikut ini adalah definisi atau batasan-batasan mengenai Maksimum dan Minimum.

Definisi Maksimum dan Minimum

Jika S, adalah daerah asal f, dan memuat titik c . Kita katakan bahwa :

• f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x)untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤ f(x)untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Akan tetapi dalam prakteknya, terdapat beberapa masalah yang tidak dapat terpecahkan dengan definisi tersebut, diantaranya adalah apabila suatu fungsi ternyata tidak memiliki nilai maksimum atau minimum pada daerah asal tertentu. Seperti pada fungsi tak kontinu.

Oleh sebab itu, digunakan teorema berikut ini untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Jadi, nilai maksimum dan minimum akan ditemukan pada fungsi f yang kontinu dan daerah asal f harus berupa selang tertutup.

Dalam teori maksimum dan minimum, terdapat titik-titik kunci atau yang biasa disebut sebagai titik kritis. Titik-titik tersebut tentunya sebarang titik dalam daerah asal suatu fungsi f, yaitu:

• Titik-titik ujung, yaitu suatu titik yang merupakan batas-batas ujung kiri dan kanan selang tertutup. Beberapa selang memuat titik-titik ujung, namun beberapa tidak memuat titik ujung satupun. (Gb.1)
• Titik stasioner, yaitu suatu titik c dalam suatu selangdimana f’(c) = 0. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-tik stasioner. (Gb.2)
• Titil singular, yaitu suatu titik c dalam suatu selang dimana f’ tidak ada. Titik singular merupakan titik dimana grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertical, atau mungkin berupa lompatan. (Gb.3)

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Jika f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c, dan jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yaitu c harus berupa salah satu dari:

(i) Titik ujung dari f

(ii)Titik stasioner dari f(f’(c)=0)

(iii)Titik singular darif(f’(c)=tidak ada)

Contoh Soal:

Sebuah SMA di cilegon berencana membangun sebuah pagar yang mengelilingi sekolah tersebut. Pada bagian pojok sekolah tersebut, terdapat tembok siku-siku sepanjang 20 meter dan lebar 10 meter yang tidak perlu dipagari. Jika sekolah tersebut hanya mempunyai 40 meter pagar, tentukan luas maksimum yang dapat dipagari. Dan dengan pagar sepanjang 40 meter tersebut, berapakah luas minimum kebun yang dapat dipagari?

Jawab:

Misal: Ukuran kebun adalah x x y seperti diperlihatkan pada gambar, maka panjang pagarnya adalah:

x+ y + ( x -10) + ( y – 20) meter.

Karena sekolah hanya mempunyai 40 meter pagar, maka

x+ y + ( x -10) + ( y – 20) = 40

x + y = 35 atau y = 35 – x

Ukuran terkecil dari x yang diperbolehkan adalah 10 meter, sehingga x ≥ 10

Ukuran terkecil dari y yang diperbolehkan adalah 20 meter, sehingga y ≥ 20.

35 – x ≥ 20

x ≥ 15

maka 10 ≤ x ≤ 15

Luas sekolah L = xy, 

=>L (x) = x (35 – x), 10 ≤ x ≤ 15

L’ (x) =35 – 2x, 10 ≤ x ≤ 15

Titik Ujung [10,15]

Titik Stasioner L’(x) = 0

35 – 2x =0

2x = 35

x =35/2 (Tidak memenuhi syarat 10 ≤ x ≤ 15)

Pengujian :

L(10) = 10 (35 – 10) = 250 m²

L(15) = 15(35 – 15) = 300 m²

Maka luas sekolah maksimum yang dapat dipagari adalah 300 m² , dan luas minimum yang dapat dipagari adalah 250 m².

• Kemonotonan dan Kecekungan 

Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titikberatkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi.

Definisi Fungsi Monoton

Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f (x1) > f (x2) untuk

x1> x2 ; x1, x2 ÎI .

Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila

f (x1) < f (x2) untuk x1> x2 ; x1, x2 ÎI .

Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton.

Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan

pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( a )

yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan a . Bila sudut

lancip (a < ½ p ) maka m > 0 dan m < 0 untuk a > ½ p. Karena gradien garis

singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang

fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang

atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :

1. Fungsi f(x) naik bila f ‘ (x)> 0

2. Fungsi f(x) turun bila f ‘ (x)< 0

Definisi Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f ‘ (x)naik pada

selang I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f ‘ (x) turun pada selang I.

Oleh karena itu dapat disimpulkan :

1. Bila f “(x) > 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke atas pada I dan

2. Bila f “(x) < 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Contoh Soal:

Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) = x4 + 2x3 + x2 – 5

Jawab :

Turunan pertama, f ‘(x) = 4x3 + 6x2 + 2x .

Untuk f ‘(x) = 4x3 + 6x2 + 2x > 0 , maka fungsi naik pada –1 < x < – ½ atau x > 0

dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ < x < 0.

Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva

terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f

( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang

melalui titik tersebut.