Materi 4 : Limit Fungsi

Limit Fungsi di Suatu Titik

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik.

Ilustrasi:

Dari tabel dan grafik: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x # 1

Notasi:limx→1f(x)=3limx→1f(x)=3

Limit Satu Sisi

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau  kanan

Ilustrasi:

Diketahui: f (x) = [[x]], x anggota dari 2 [-1, 2)

Dari grafik: 

1) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x # 0.

Notasi: limx→0−f(x)=−1limx→0−f(x)=−1

2) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x # 0.

Notasi: limx→0+f(x)=−1

Limit Tak Hingga

Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik

Ilustrasi:

Diketahui: 1/x²

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi:  limx→0f(x)=∞limx→0f(x)=∞

Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = - 1/x^2

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi: limx→0f(x)=−∞limx→0f(x)=−∞

Hukum Limit

Teorema Limit Utama

Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit limx→af(x)limx→af(x) dan limx→ag(x)limx→ag(x)

ada, maka :

Teorema Substitusi

Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam daerah asal f, maka  limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a)

Pertidaksamaan Limit

Jika f (x) ≤ g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka

limx→af(x)⩽limx→ag(x)limx→af(x)⩽limx→ag(x)

Teorema Apit

Jika f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a)

dan limx→af(x)=L=limx→ah(x),limx→af(x)=L=limx→ah(x),, maka limx→ag(x)=Llimx→ag(x)=L

Kekontinuan Fungsi

Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik

Teorema:

Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:

1) f + g

2) f - g

3) cf

4) fg

5) f/g jika g(a) # 0

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposit

Teorema [Limit fungsi komposit]

Jika f kontinu pada b dan limx→ag(x)=blimx→ag(x)=b, maka limx→af(g(x))=f(limx→ag(x))limx→af(g(x))=f(limx→ag(x))

Teorema [Kekontinuan fungsi komposit]

Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f o g kontinu pada a.

Kekontinuan pada Interval

Definisi [Kekontinuan pada interval]

§  Fungsi f kontinu pada interval (a, b), jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.

§  ungsi f kontinu pada interval [a, b], jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya:

§  Fungsi polinom

§  Fungsi rasional

§  Fngsi trigonometri

§  Fungsi akar

§  Fungsi eksponen

§  Fungsi logaritma

§  Fungsi nilai mutlak

Teorema Nilai Antara

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N adalah bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat canggota dari (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N.

Kegunaan Teorema Nilai Antara

1)    Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval.

2)    Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval.

3)    Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval.